Oszthatósági szabályok (0-40-ig)

0: 0-val való osztás értelmetlen.
1: Minden egész szám osztható 1-gyel.
2: Azok a számok oszthatók 2-vel, amelyeknek utolsó számjegye(egyes helyiértéken álló) osztható 2-vel.
3: Azok a számok oszthatók 3-mal, amelyeknek a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.
4: Azok a számok oszthatók 4-gyel, amelyeknek az utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám is osztható 4-gyel.
5: Azok a számok oszthatók 5-tel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 5-tel.
6: Azok a számok oszthatók 6-tal, amelyek 2-vel és 3-mal is oszthatóak.
7: 7-tel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó számjegy dupláját(2-szeresét).
Ha az így kapott szám osztható 7-tel akkor az eredeti is. Ha még az így kapott számról sem tudjuk megállapítani, hogy osztható-e 7-tel, akkor ugyanezt a tendenciát kell folytatni amíg olyan számot nem kapunk amiről biztosan meg tudjuk állapítani, hogy osztható 7-tel.
Pl.: 315 -> 31-(2*5)=21. 21 osztható 7-tel, tehát 315 is.
8: Azok a számok oszthatók 8-cal, amelyeknek az utolsó három számjegyéből képzett háromjegyű szám is osztható 8-cal.
9: Azok a számok oszthatók 9-cel, amelyeknek számjegyeinek összege is osztható 9-cel.
10: Azok a számok oszthatók 10-zel, amelyeknek utolsó számjegye is osztható 10-zel, magyarul 0-ra végződik.
11: 11-gyel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonom az utolsó számjegyet. Ha az így kapott szám osztható 11-gyel, akkor az eredtei is. Ugyanúgy mint a 7-tel való oszthatóságnál itt is lehet ismételni ezt a folyamatot, ha még mindig megállapíthatatlan az oszhatóság.
Pl.: 5258-> 525-8=517-> 51-7=44 44 osztható 11-gyel, tehát 5258 is.
12: Azok a számok oszthatók 12-vel, amelyek 4-gyel és 3-mal is oszthatóak.
13: 13-mal úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó számjegy 4-szeresét.
Ugyanúgy mint a 7-nél is a 11-nél, itt is lehet ismételni a folyamatot.
Pl.: 6175-> 617+(4*5)=637-> 63+(4*7)=91-> 9+(4*1)=13. 13 osztható 13-mal, tehát 6175 is.
14: Azok a számok oszthatók 14-gyel, amelyek 2-vel és 7-tel is oszthatóak.
15: Azok a számok oszthatók 15-tel, amelyek 3-mal és 5-tel is oszthatóak.
16: Azok a számok oszthatók 16-tal, amelyeknek utolsó négy számjegyéből képzett négyjegyű szám is osztható 16-tal.
17: 17-tel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó számjegy ötszörösét. A folyamat itt is ismételhető.
Pl.: 132770-> 13277-(0*5)=13277-> 1327-(7*5)=1292-> 129-(2*5)=119. 119 osztható 17-tel, tehát 132770 is osztható 17-tel.
18: Azok a számok oszthatók 18-cal amelyek 2-vel és 9-cel is oszthatóak.
19: 19-cel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó számjegy kétszeresét. A folyamat itt is ismételhető.
Pl.: 7828-> 782+(2*8)=798-> 79+(2*8)=95-> 9+(2*5)=19. 19 osztható 19-cel, tehát 7828 is osztható 19-cel.
20: Azok a számok oszthatók 20-szal, amelyeknek az utolsó két számjegyükből képzett két jegyű szám is osztható 20-szal.
21: Azok a számok oszthatók 21-gyel, amelyek 3-mal és 7-tel is oszthatóak.
22: Azok a számok oszthatók 22-vel, amelyek 2-vel és 11-gyel is oszthatóak.
23: 23-mal úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számhoz hozzáadjuk az utolsó számjegy 7-szeresét.
Ha ez a szám osztható 23-mal akkor az eredeti is. Ha még ebből a számból sem lehet megállapítani, hogy osztató-e 23-mal, akkor mégegyszer el kell végezni az előbb leírtakat.
Pl.: 20033-> 2003+(7*3)=2024-> 202+(4*7)=230. 230 osztható 23-mal, tehát 20033 is osztható 23-mal.
24: Azok a számok oszthatók 24-gyel, amelyek 3-mal és 8-cal is oszthatóak.
25: Azok a számok oszthatók 25-tel, amelyeknek az utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám is osztható 25-tel.
26: Azok a számok oszthatók 26-tal, amelyek 2-vel és 13-mal is oszthatóak.
27: A számot blokkokba kell rendezni hatulról, úgy, hogy egy blokkban 3 számjegy legyen. A blokkokat (tehát a képzett háromjegyű számokat) összeadjuk. Ha ez az összeg osztható 27-tel akkor az eredeti szám is.
Pl.: 2360367 Ezt hátulról hármas blokkokba csoportosítjuk így: 2 360 367. Mivel a 2-es számjegy már egyedül maradt a végére, ezért ő egyedül fog képezni egy blokkot. Most ezután összeadjuk a három számot: 367+360+2=729. Mivel 729 osztható 27-tel, ezért 2360367 is.
28: Azok a számok oszthatók 28-cal, amelyek 4-gyel és 7-tel is oszthatóak.
29: 29-cel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzet számhoz hozzáadjuk az utolsó számjegy háromszorosát. Ha ez a szám osztható 29-cel, akkor az eredeti is.
Pl.: 4205-> 420+(3*5)=435-> 43+(3*5)=58-> 5+(3*8)=29. Mivel 29 osztható 29-cel, ezért 4205 is.
30: Azok a számok oszthatók 30-cal, amelyek 3-mal és 10-zel is oszthatóak.
31: 31-gyel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó számjegy háromszorosát. Ha ez a szám osztható 31-gyel, akkor az eredeti is.
Pl.: 204197-> 20419-(3*7)=20398-> 2039-(3*8)=2015-> 201-(3*5)=186-> 18-(3*6)=0. 0 osztható 31-gyel(mert 0 minden számmal osztható), ezért 204197 is osztható 31-gyel.
32: Azok a számok oszthatók 32-vel, amelyeknek az utolsó öt számjegyéből képzett ötjegyű szám is osztható 32-vel.
33: Azok a számok oszthatók 33-mal, amelyek 3-mal és 11-gyel is oszthatóak.
34: Azok a számok osztahtók 34-gyel, amelyek 2-vel és 17-tel is oszthatóak.
35: Azok a számok oszthatók 35-tel, amelyek 5-tel és 7-tel is oszthatóak.
36: Azok a számok oszthatók 36-tal, amelyek 4-gyel és 9-cel is oszthatóak.
37: 37-tel úgy vizsgálhatjuk meg az oszthatóságot, hogy a szám első számjegyétől az utolsó előtti számjegyéig képzett számból kivonjuk az utolsó számjegy 11-szeresét. Ha ez a szám osztható 37-tel, akkor az eredeti is.
Pl.: 32227-> 3222-(11*7)=3145-> 314-(11*5)=259. 259 osztható 37-tel, ezért 32227 is.
38: Azok a számok oszthatók 38-cal, amelyek 2-vel és 19-cel is oszthatóak.
39: Azok a számok oszthatók 39-cel, amelyek 3-mal és 13-mal is oszthatóak.
40: Azok a számok oszthatók 40-nel, amelyeknek az utolsó három számjegyéből képzett háromjegyű szám is osztható 40-nel.
Hozzászólások
Hozzászólás írásához jelentkezz be vagy regisztrálj!
2014. február 16. 14:53
ÁÁh, a rendszer eltüntette az "n-vessző"-kről az aposztrófot, remélem kitalálható, hogy honnan hiányoznak :S
2014. február 16. 14:50
Nekem nagyon úgy tűnik, hogy nem csak a prímekre, de az összes 10-hez relatív prímre igaz a korábbi megállapítás. Így megalkotható az összes összetett számra is az oszthatósági szabály: Ha a számunk (amivel való oszthatóságot vizsgáljuk, legyen n) osztható 2-vel vagy 5-tel, akkor leosztunk a 2-es és 5-ös prímosztókkal. Így kapjuk a következő számot: n = n/(2^r * 5^s) , ahol r és s a legnagyobb kitevők, amivel osztható n. Az így kapott n relatív prím lesz 10-hez. Ha nem tévedek, akkor ezzel elvégezve a korábbi számításokat, vizsgálhatjuk az n-vel való oszthatóságot. ( n≡1(10) => k=(1-n)/10; n≡3(10) => n=(3p+1)/10; n≡7(10) => k=(1-3n)/10; n≡9(10) => k=(n+1)/10 )
Az n-től függetlenül vizsgálhatjuk az oszthatóságot a 2 és 5 hatványaival, amire a szabály: 2^r -nel osztható a szám, ha az utolsó r számjegyből képzett szám osztható 2^r -nel, ugyanígy 5^s -nel osztható a szám, ha utolsó s jegyéből képzett szám osztható 5^s -nel. (Itt lehet egyszerűsíteni a dolgon, ha van 2 és 5 prímtényező is valamely hatványon, hiszen azokat együtt véve 10 hatványokat kapunk: 10^s-r, és ha ezzel leosztjuk a számot utána egyszerűbb a vizsgálat, mert ha r>s, akkor már csak 2^(r-s) -nel való oszthatóságot kell vizsgálni, ha s>r, akkor 5^(s-r) -nel való oszthatóságot.)
Így akkor osztható egy szám n-nel, ha osztható n-vel, 2^r -nel és 5^s -nel.
Pl.: 1002713400 osztható-e 1560-nal?
1560 = 2^3 * 3 * 5 * 13 = 10 * 2^2 * 39 , ebből n = 39
Először leosztunk 10-zel: 100271340
Megvizsgáljuk, hogy osztható-e 2^2 -nal: az utolsó két jegyből alkotott szám: 40, ami osztható 4-gyel
Megnézzük, hogy 100271340 osztható-e 39-cel. 39≡9(10), tehát k=(39+1)/10=4
10027134+0=10027134
1002713+4*4=10 02729
100272+4*9=100308
10030+4*8=10062
1006+4* 2=1014
101+4*4=117
11+4*7=39
Tehát a szám osztható 39 is, vagyis 1002713400 osztható 1560-nal.
Remélem tényleg működik az összes relatív prímre a 10-hez, ha nem, akkor elnézést.
2013. március 28. 11:12
A felírt X számot bontsuk két részre: jelölje ,,A” a szám utolsó számjegyét, míg ,,B” az utolsó számjegy elhagyásával keletkező számot. Ezek alapján az X felírható így is: 10 ∙ B + A. Kérdés osztható-e az X szám egy tetszőlegesen választott p prímszámmal. Belátható, hogy egy alkalmas k (egész) szám választásával, ha a p nem osztja A-t, akkor a p osztója lesz a B + k ∙ A számnak, de akkor a 10 ∙ (B + k ∙ A) = 10 ∙ B + A + (10 ∙ k - 1) ∙ A számnak is. Ebben az esetben, ha p osztója (10 ∙ k – 1) ∙ A –nak, akkor a 10 ∙ B + A –nak is, mely éppen az eredetileg megadott X számunk. Így tehát elegendő azt megvizsgálni, hogy a 10 ∙ k – 1 milyen k (egész) esetén osztható p - vel. Összegezve: keressük azt a legkisebb (számolás megkönnyítése végett) k egész számot, melyre igaz, hogy t ∙ p = 10 ∙ k – 1. Ezt követően az eredeti szám helyett a B + k ∙ A számot vizsgáljuk a p-vel történő oszthatóság szempontjából. Továbbá látható, hogy p =2 és 5 esetében nem lesz megoldása az egyenletnek.
2013. március 28. 11:06
10-hez relatív prím kikötést már értem, mert 2 és 5 esetében nem lesz olyan k sosem, amelyre a kongruencia fennállna, de az előzőleg felvetett kikötést (p ne ossza A-t sem) szerintem fontos.
2013. március 28. 11:03
Lenne egy olyan kérdésem, hogy a lentebb levezetett szabály (B + k A) során miért kell kikötni, hogy p relatív prím 10-hez? Nem azt kellene kikötni esetleg, hogy p ne legyen osztója A-nak? Ugyanis, ha p osztója A-nak, akkor nincs minden esetben olyan k, hogy p osztója B + k A -nak. (pl.: p = 7 és a szám 17)
2011. január 27. 22:19
Na mégegyszer. Az eleje és az indoklás még jó, a végébe csúszott némi hibám... Szóval:
0 minden számmal osztható (mert 0*a=0), így 0-val is; de nem szabad vele osztani.
2011. január 22. 03:32
Egy kicsit pontosíthatok?
A 0-val való osztás értelmetlen. Ez igaz, természetesen. De:
Az oszthatóság definíciója: "Egy a szám osztója -nek, ha van olyan természetes szám, amellyel a-t megszorozva -t kapunk." (ab, ha n*a=b)
Így tehát definíció szerint 0-val minden szám osztható, de nem szabad vele osztani. (0a, mert 0*a=0, de a:0 nincs értelmezve)
2010. október 26. 17:55
0: 0 vál való osztás értelmetlen xD
2010. október 25. 09:10
Ha p prím és relatív prím a 10-hez is, akkor  p osztója B+kA ==> p osztója 10B+A is teljesül alkalmas k-ra, ahol A a 10-es számrendszerben felírt vizsgálandó szám utolsó jegye, B pedig az utolsó jegy elhagyásával keletkező szám. Nyilván p osztója B+kA ==> p osztója 10(B+kA) = 10B+A+(10k-1)A. A megadott feltételek mellet a 10k≡1(p) kongruencia megoldása jó lesz, hiszen ekkor p osztója (10k-1), ezért p osztója B+kA ==> p osztója 10B+A+(10k-1)A==>p osztója 10B+A. Ha megoldottuk a kongruenciát (vagy diofantikus egyenletet), akkor a kapott k által reprezentált maradékosztályból már csak a legkisebb abszolút értékűt kell kivenni, amivel az oszthatósági szabály ellenőrzésekor a számolás fejben egyszerűbb. Két konkrét példa: 
p=7:  10k≡1(7) legkisebb pozitív egész megoldása k=5, mert 10*5-1=49, ami osztható héttel. ABS(5-7)=2<5, ezért a k=-2 a legalkalmasabb a fejben történő ellenőrzésre, azaz 10B+A helyett veszem a B-2A számot, és megnézem, hogy 7-tel osztható-e. Ha ez a szám még mindig túl nagy, akkor tovább bontom B-2A=10b+a alakra és nézem a b-2a számot, és így tovább. 
p=61: 10k≡1(61) legkisebb pozitív egész megoldása k=55, de szerencsésebb a k=55-61=-6-tal számolni (azaz 10B+A helyett B-6A-val folytatom a számítást).Pl.: 79117-> 7911-(6*7)=7869-> 786-(6*9)=732->73-(6*2)=61->6-(6*1)=0, ami osztható 61-gyel, következésképpen 79117 is osztható 61-el (=61*1297).
Néhány k érték kisebb prímekre: k(3)=1, k(7)=-2, k(11)=-1, k(13)=4, k(17)=-5, k(19)=2, k(23)=7, k(29)=3, k(31)=-3, k(37)=-11, k(41)=-4, k(43)=13, k(47)=-14, k(53)=16, k(59)=6, k(61)=-6, k(67)=-20, k(71)=-7, k(73)=22, k(79)=8, k(83)=25, k(89)=9, k(97)=-29, k(101)=-1, stb. 
Ebből a sorból kiolvashatjuk az általános oszthatósági szabályt tetszőleges p prímszámra, ami relatív prím a 10-hez: Ha p≡1(10), akkor k=(1-p)/10. Ha p≡3(10), akkor k=(3p+1)/10. Ha p≡7(10), akkor k=(1-3p)/10.Ha p≡9(10), akkor k=(p+1)/10.
Ekkor a 10B+A alakban felírt 10-es számrendszerbeli szám p-vel történő oszthatósági vizsgálatát úgy is ellenőrizhetjük, hogy 10B+A helyett a B+kA számot vizsgáljuk a p-vel történő oszthatóság szempontjából. Amennyiben B+kA-ról már el tudjuk dönteni, hogy p p osztója B+kA, akkor p osztója 10B+A is teljesül. Ha a B+2A szám még túl nagy, akkor ugyanezzel a módszerrel tovább bontjuk B+2A=10b+a alakban, és ehelyett a b+ka számot vizsgájuk. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg a keletkező számról már el tudjuk dönteni, hogy osztható-e p-vel. Amennyiben igen, akkor a kiinduló szám is osztható p-vel, és fordítva, amennyiben nem, akkor a kiinduló szám sem osztható p-vel.
2010. október 24. 17:40
Ha egy A szám többszöröse a 10 (10^1), akkor egy szám akkor osztahtó A-val, ha az utolsó 1 számjegye is osztható A-val.
Ha egy A szám többszöröse a 100 (10^2), akkor egy szám akkor osztható A-val, ha az utolsó 2 számjegye is osztható A-val.
Ha egy A szám többszörese az 1000 (10^3), akkor egy szám akkor osztható A-val, ha az utolsó 3 számjegye is oszható A-val.
Ha egy A szám többszöröse 10^n, akkor egy szám akkor osztható A-val, ha az utolsó n számjegye is osztható A-val.
Szerző
  • ipi
  • 2010. március 20.
Címkék
Elfogadom

Az oldalon harmadik féltől származó cookie-kat (sütiket) használunk a megjelenő reklámok személyre szabása és statisztikai adatok gyűjtése érdekében. Az oldal használatával elfogadod a cookie-k alkalmazását. Több információ