n! utolsó 0-ái

Hány 0-ra végződik az n!? (n!=1*2*3*...*n)

Egy szorzat annyi 0-ra fog végződni amennyi a prímtényezős felbontásában a 2-es és 5-ös prímtényezők közül a legkisebb hatványkitevő. Mert csak akkor kapunk 10-es hatványokat, 2-es és 5-ös szorzatokból.

Nos n! prímtényezőjében biztosan nagyobb lesz a 2-es prímtényező hatványa, mint az 5-ösé, mert minden második szám osztható 2-vel és csak minden ötödik szám osztható 5-tel. Ezek alapján az 5-ös prímtényező kitevőjének a számával megegyező számú 0-ra fog végződni a szorzat.

Az 5-ös prímhatvány kitevőjének a számának a meghatározása n!-ban:
Legyen 5^a>=n
Ekkor: [n/5]+[n/5^2]+[n/5^3]+...+[n/5^a], az ötös kitevőjének a számát határozzuk meg ami az előbb leírtak alapján a 0-ra való végződést határozza meg.
([p/q] : azt jelenti hogy p/q egész része, vagyis a hányados értékénél nem nagyobb, legnagyobb egész számot vesszük).

Példa:
Hány 0-ra végződik a 127!?
127<5^4=625
[127/5]+[127/25]+[127/1 25]=25+5+1=31
Vagyis a 127! 31 0-ra végződik.

A cikket 2010.Felvidéki Magyar Matematikaverseny, Zselíz 11. ill. 12. osztályos feladatok alapján írtam.
Hozzászólások
Hozzászólás írásához jelentkezz be vagy regisztrálj!
Szerző
Elfogadom

Az oldalon harmadik féltől származó cookie-kat (sütiket) használunk a megjelenő reklámok személyre szabása és statisztikai adatok gyűjtése érdekében. Az oldal használatával elfogadod a cookie-k alkalmazását. Több információ